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新的真命题逆否世界难题

TIME:2015-08-03 FROM:www.cntg.org.cn AUTHOR:中国学术杂志网 CLICKS:
  摘  要:本文采用简捷的初等方法证明了:在不小于4的自然数中,对于奇数和偶数两部分而言,不都是二素数之和的数是奇数(即不是偶数),是真命题。

  关键词:两素数和实验、序数列、不是二素数和的奇数、函数解释式、互为逆否真命题。

  自然数包括零和一切正整数,可分为素数(质数)、合数以及既非素数亦非合数的数0和1这三部分,素数是指除了1和自身外再无别的约数(或因数)的数,合数是除了1和自身以外还有其它约数的数。这样,2就成了最小的素数,也是唯一的偶素数,3就是最小的奇素数,而4则是最小的偶合数,9是最小的奇合数。这种“最小”和“唯一”给后面的解决问题启迪和帮助很大。

  正是由于0和1不是素数也不是合数,使得0,1,2,3这四个数无论奇偶都不能表为两个素数之和。而从4到10这七个数无论奇偶却都能表为两个素数之和,如4=2+2,5=2+3,6=3+3,7=2+5,8=3+5,9=2+7,10=3+7=5+5。可是大于10的正整数的情况就不简单了。

  现在先把素数按由小到大的次序写出顺序素数列的前一部分,然后再做个从理论上能够认可的实验,揭开某些秘密,给破解一类世界难题新辟捷径。

  顺序素数列前部分:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,……下一步是依顺(由小到大)把每一个素数与顺序素数列中不小于自身的素数按由小到大的次序逐一两两相加之各和依顺组成一个数列,所有的素数都必须分别这样进行一次形成一个数列,这样就得到都是由“两素数之和”的数组成的许多数列:

  (1)4,5,7,9,13,15,19,21,25,31,33,39,43,45,49,55,61,63,69,73,75,81,85,91,99,…(2)6,8,10,14,16,20,22,26,32,34,40,44,46,50,56,62,64,70,74,76,82,86,92,100,104,…(3)10,12,16,18,22,24,28,34,36,42,46,48,52,58,64,66,72,76,78,84,88,94,102,106,108,…(4)14,18,20,24,26,30,36,38,44,48,50,54,60,66,68,74,78,80,86,90,96,104,108,110,114,…(5)22,24,28,30,34,40,42,48,52,54,58,64,70,72,78,82,84,90,94,100,108,112,114,118,120,…(6)26,30,32,36,42,44,50,54,56,60,66,72,74,80,84,86,92,96,102,110,114,116,120,122,126,…(7)34,36,40,46,48,54,58,60,64,70,76,78,84,88,90,96,100,106,114,118,120,124,126,130,144,…(8)38,42,48,50,56,60,62,66,72,78,80,86,90,92,98,102,108,116,120,122,126,128,132,146,…(9)46,52,54,60,64,66,70,76,82,84,90,94,96,102,106,112,120,124,126,130,132,136,150,…(10)58,60,66,70,72,76,82,88,90,96,100,102,108,112,118,126,130,132,136,138,142,156,…(11)62,68,72,74,78,84,90,92,98,102,104,110,114,120,128,132,134,138,140,144,158,………

  因为没有最大的素数,所以上面这些数列有无限多个,并且每个数列都是无穷的。

  由实验这一步的做法和效果推断,容易明白:一切能够用两个(相同或不同)素数之和来表示的数(无论奇数或偶数),毫无例外地都集中在上面这些数列中;一切不能表为两个素数之和的数(比如0,1,2,3以及其它可能的自然数)都不会在上面这些数列中。

  另外,自然数还可以按偶数和奇数分成两大部分。其中能被2整除的数是偶数,所有偶数依次组成顺序偶数列:

  0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30, …,2n,…。(n为自然数)        [1]

  不能被2整除的数是奇数,所有奇数也依次组成顺序奇数列:

  1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31, …,2n+1,…。(n为自然数)      [2]

  认真观察可以发现,除了0和2之外,顺序偶数列[1]中的所有偶合数都可以在前面由“两素数之和”的数组成的数列中不断找到,有的偶数(如14,16,24,36,60等等)还不止找到一次甚至很多次。而且随着偶数的不断增大,由不同的“素数对”来表示的“两素数之和”等于同一个偶数出现的次数有逐渐增多的趋势。看来认为不小于4的偶数都是二素数之和并非理由不充足。不过,别急。先看看前人在这个问题上是如何遇到“麻烦”的。

  记得据介绍1742年哥德巴赫写信给欧拉,提出不小于6的偶数都是二素数之和。并且有人对一个一个的偶数都进行了这样的验算,已经验算到了三亿三千万,都表明是这样。更大的数猜想起来也应该是对的,但应当证明,而证明却是很难的。这就是有名的世界数学难题——哥德巴赫猜想(1+1),现有陈述为大于2的偶数都是两个质数的和。十八,十九两个世纪无人能证明。从1920年初挪威数学家布朗用古筛法证明了(9+9)即9个因子之积加9个因子之积正确到1966年夏初陈景润宣布证明了(1+2)即每个大偶数都是由一个素数和一个“素因子都不超过2个的”数之和,这四十多年间多少数学家们想尽了办法,绞尽脑汁企图“从正面证明”大偶数在某种充要条件下能精准完备到(1+1)——哥德巴赫猜想成立,可是最后也只达到了(1+2)的最高水平。人们所担心的是“不能表为二素数之和”的“大偶数a”是否存在?若a存在则哥德巴赫猜想不成立,若a不存在则哥德巴赫猜想成立。显然a取值0或2都是不合适的,因为这两个都是小偶数。然而要在不小于4以至大于三百五十亿亿那些浩如烟海的偶数中确定a是否存在,却又被认为是极不容易的。

  那么,若另辟蹊径,把问题提得更广泛些:到底在不小于4的自然数中是否存在不能表为二素数之和的正整数b呢?答案是b存在着,并且b是奇数(从而也就明晰判断了不存在上述的“大偶数a”)而不是偶数!

  注意到“两素数之和”的数组成的数列(1),屏去该数列中唯一的偶合数4就变成了一个奇数列{1}5,7,9,13,15,19,21,25,31,33,39,43,45,49,55,61,63,69,73,75,81,85,91,99,…因为1和3不能表为两素数之和故不在其中。将该数列与顺序奇数列[2]细作比较可以发现,除了1和3以外,还缺少许多奇数,如{2}11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,93,95,97,…这些“缺少的奇数”不像前面所说的偶合数那样可以在其它由“两素数之和”的数组成的偶数列中不断找到。它们中既有素数,又有合数,如何确定并从规律上去把握住它们呢?现在如果自然而然地猜想它们是不能表为二素数之和的奇数(即不是偶数),又能够从理论上证明得了吗?

  不妨“平等地”设想它们也是由2分别跟某个数相加后才被“淘汰”出原数列(1)的,那么遭弃的前因是什么?把它们各减少2可得9,15,21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,77,81,85,87,91,93,95,…原来都是奇合数且都可以写成两个大于1的奇数之积。设该乘积的两因数其中一个为2x+1,另一个为2y+1,把这两个奇数相乘再加回2,就可得到一个能够完整地表达所猜想数设为b(b代表着具有同一类特性的一系列数中的每一个数)的函数解析式:

  b=(2x+1)(2y+1)+2     (A)    (x,y都是正整数且1≤x≤y)函数的最小值恰是最小的素数即是唯一的偶素数2跟最小的奇合数9之和11(即数列{2}的首项值)。如果分别给以(A)步b的表达式中的x、y由小到大适当的正整数值,便可以直接产生而得出数列{2}。这表明数列{2}这些由数列{1}对于顺序奇数列[2]来说还“缺少的奇数”,是有它们客观存在的基础条件的,它们是自然数中一支具有独特规律结构的数系,而能够产生它们全体的函数解析表达式正好蕴含了所猜想数b不是偶数(即是奇数)也不为二素数之和的数两个重要特性。

  利用b的函数解析式,能方便地从理论上证明上面的猜想完全正确。因为2为最小的素数且是唯一的偶素数,此外大于1的所有自然数跟2的积都是偶合数,不小于2的所有偶数跟2的和也都是偶合数。自然数中奇数与奇数的积仍是奇数,而偶数与奇数之和也是奇数。这里b的表达式中(2x+1)(2y+1)是两个奇数之积做为一个加数,再与2相加,这样一奇一偶的两个加数不会有公因数2,故易知所猜想数b只能是正整数中的奇数无疑。

  再看b永远不能表为二素数之和吗?把b的表达式作恒等变换,得b=2+(2x+1)(2y+1)       (A)    (x,y都是正整数且1≤x≤y)=2(x+1)+(4xy+2y+1)   (B)

  =2(2xy+y+1)+(2x+1)   (C)

  =2(2xy+x+y+1)+1        (D)

  =[2+(2x+1)(2y+1)] +0     (EA)

  显然解析表达式中只有加、乘运算,无论再作怎样的恒等变换,最终只能归结为以上(A)、(B)、(C)、(D)、(EA)五种最具代表性或者极端性的可能形态。再注意到0和1都既不是素数也不是合数,所以五种形态的每种两个加数都至少有一个加数不是素数,即没有一种可能两个加数同为素数的。此外其它的各种形态均介于(B)、(C)两者之间,这些形态的共同特征是:每种表达b的两个加数都有一个是不小于4的偶数。这说明不管b的表达式中两个加数恒等变换成何种形态,也无论x、y取什么样的正整数,奇数b始终不能表为二素数之和。

  综上所述,在不小于4的自然数中,存在着不能表为二素数之和的正整数b,但b只能是奇数而不可能又是偶数,简言之不小于4不能表为二素数之和的整数是奇数。

  或者说

  不小于4不能表为二素数之和的整数不是偶数。

  这个结论是完全正确的。它从根本上解决了前述人们所担心的“不能表为二素数之和”

  的“大偶数a”是否存在的问题:明确原来前述这样的“大偶数a”并不具备使其能够存在(或产生)的条件(或模型),进而可以推之这样的“大偶数a”不会存在。

  因为在不小于4的自然数中,对于二者必居其一的奇数和偶数两部分而言,奇数既有不能表为二素数之和的数(如数列{2}),也有能表为二素数之和的数(如数列{1}),所以从更广义上讲,依这个结论还可以推说成不小于4不都是二素数之和的整数不是偶数。

  这也是个完全正确的结论,它是一个新的真命题。值得特别注意的是这个真命题正好是哥德巴赫猜想作为一个命题(原命题)的逆否命题。一个命题跟它的逆否命题是互为逆否的等价(同真或者同假)命题,至此可以从理论上肯定哥德巴赫猜想(不小于4的偶数都是二素数之和)是真命题。

  
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